Tính diện tích tam giác khi biết 3 cạnh bằng công thức Heron

Khi biết ba cạnh của một tam giác nhưng chưa biết chiều cao, bạn có thể dùng công thức Heron: S = √[p(p − a)(p − b)(p − c)], trong đó a, b, c là ba cạnh và p = (a + b + c) / 2 là nửa chu vi.

Mở tool tính tam giác, chọn chế độ biết ba cạnh để nhập số và đối chiếu kết quả. Trước khi tính, cần kiểm tra độ dài ba cạnh có tạo thành một tam giác hợp lệ hay không.

Bước 1: kiểm tra ba cạnh

Các cạnh phải là số dương và thỏa mãn bất đẳng thức tam giác: tổng hai cạnh bất kỳ phải lớn hơn cạnh còn lại.

Có thể sắp xếp ba số từ nhỏ đến lớn rồi chỉ kiểm tra tổng hai số nhỏ có lớn hơn số lớn nhất không. Ví dụ 3, 4, 5 hợp lệ vì 3 + 4 > 5. Bộ 2, 3, 5 không tạo thành tam giác có diện tích dương vì 2 + 3 = 5; bộ 2, 3, 6 cũng không hợp lệ.

Đây là bước quan trọng: không lấy căn giá trị âm rồi cố làm tròn để tạo ra một kết quả diện tích.

Bước 2: tính nửa chu vi

Chu vi P = a + b + c. Nửa chu vi p = P / 2.

Chữ p trong công thức Heron là nửa chu vi, không phải toàn bộ chu vi. Một số tài liệu dùng chữ s thay cho p; ý nghĩa vẫn giống nhau nếu được định nghĩa là (a + b + c) / 2.

Ba cạnh phải cùng đơn vị trước khi cộng. Nếu a = 30 cm, b = 0,4 m, c = 50 cm, hãy đổi b thành 40 cm để tính với bộ 30, 40, 50 cm.

Bước 3: thay vào công thức Heron

Tính lần lượt p − a, p − b, p − c. Nhân ba hiệu với p rồi lấy căn bậc hai. Nếu cạnh dùng cm thì diện tích thu được là cm²; cạnh dùng m thì diện tích là m².

Nên giữ đủ chữ số trong các bước trung gian và chỉ làm tròn kết quả cuối. Với tam giác rất dẹt, tính bằng số thập phân trên máy có thể nhạy với sai số; tool sử dụng cách tính tương đương ổn định hơn để hạn chế vấn đề này.

Ví dụ 1: tam giác có cạnh 3, 4 và 5 cm

Nửa chu vi p = (3 + 4 + 5) / 2 = 6 cm.

S = √[6 × (6 − 3) × (6 − 4) × (6 − 5)]

S = √(6 × 3 × 2 × 1) = √36 = 6 cm².

Chu vi P = 3 + 4 + 5 = 12 cm.

Đây cũng là tam giác vuông vì 3² + 4² = 5². Tính theo hai cạnh góc vuông cho S = 3 × 4 / 2 = 6 cm², khớp với Heron.

Ví dụ 2: tam giác có cạnh 5, 6 và 7 m

Ta có 5 + 6 > 7 nên ba cạnh hợp lệ.

p = (5 + 6 + 7) / 2 = 9 m.

S = √[9 × (9 − 5) × (9 − 6) × (9 − 7)]

S = √(9 × 4 × 3 × 2) = √216 = 6√6 ≈ 14,70 m².

Chu vi là 18 m. Nếu cần chiều cao ứng với cạnh đáy 7 m, suy ra h = 2S / 7 ≈ 4,20 m. Không lấy cạnh bên 5 m hoặc 6 m làm chiều cao nếu chưa có điều kiện vuông góc.

Khi nào nên dùng công thức khác?

Nếu đã biết đáy a và chiều cao vuông góc h, công thức S = ah / 2 thường đơn giản hơn. Nếu tam giác vuông và đã biết hai cạnh góc vuông, lấy tích hai cạnh đó chia hai.

Với tam giác đều cạnh a, có thể dùng S = a²√3 / 4. Heron vẫn dùng được cho trường hợp này, nhưng không nhất thiết phải thực hiện nhiều bước hơn.

Nếu chỉ biết một cạnh hoặc hai cạnh mà không có thêm điều kiện, chưa thể xác định duy nhất diện tích một tam giác nói chung.

Câu hỏi thường gặp

Ba cạnh bằng nhau có dùng Heron được không?

Có. Heron áp dụng cho mọi tam giác hợp lệ, gồm tam giác đều, cân, vuông và tam giác thường.

Vì sao tính ra 0?

Hãy kiểm tra tổng hai cạnh có bằng cạnh còn lại không. Nếu bằng nhau, ba điểm nằm thẳng hàng và không tạo thành tam giác có diện tích dương. Với số đo thực tế gần giới hạn này, cần kiểm tra lại độ chính xác phép đo.

Đổi từ cm sang m có chia diện tích cho 100 không?

Không. Từ cm² sang m² phải chia cho 10.000. Xem hướng dẫn đổi đơn vị diện tích và thể tích để tránh nhầm hệ số.