Thay 30% nước rồi thay tiếp 30%: vì sao không thành 60% nước ban đầu?

Giả sử một bể có 100 lít nước, rút 30 lít rồi bổ sung lại đủ 100 lít. Nếu nước đã trộn đều và lặp lại thao tác rút 30 lít, lượng nước ban đầu còn lại là 49 lít. Hai lần thay 30% làm loại đi 51% lượng nước ban đầu theo mô hình này, không phải 60%.

Theo dõi phần nước cũ

Lần đầu giữ lại 70% lượng nước cũ, tức 70 lít. Sau khi thêm nước mới và trộn đều, lần rút thứ hai lấy đi 30% của cả hỗn hợp, trong đó có 21 lít nước cũ. Lượng nước cũ còn lại là 70 − 21 = 49 lít.

Có thể kiểm tra bằng tool tính phần trăm: tính 30% của 70 để được 21. Cơ sở tính lần hai là lượng nước cũ còn lại, không phải luôn 100 lít nước cũ.

Công thức lặp nhiều lần

Nếu mỗi lần thay tỷ lệ p, sau n lần lượng nước ban đầu còn lại là V × (1−p)^n, với p viết dạng thập phân. Ba lần thay 20% để lại 0,8³ = 0,512, tức 51,2% nước ban đầu. Phần nước ban đầu đã loại là 48,8%.

Nếu các lần dùng tỷ lệ khác nhau, nhân lần lượt hệ số còn lại. Thay 20% rồi 40% giữ 0,8 × 0,6 = 0,48 lượng ban đầu. Đừng cộng các tỷ lệ thay mà bỏ qua nước mới cũng có thể bị rút ở lần sau.

Những giả định cần giữ

Công thức giả định mỗi lần bổ sung lại đúng mức thể tích cũ và trộn đều trước lần rút tiếp theo. Nếu không thêm nước giữa hai lần rút, bài toán khác. Nếu nước phân lớp hoặc rút ở một vùng chưa trộn, tỷ lệ trong phần rút có thể không giống toàn bể.

Thể tích V cũng phải là lượng nước thực đang xét. Có thể xem cách tính lít nước bể cá hoặc dùng tool đổi thể tích để đối chiếu đơn vị. Nền và đồ vật trong bể làm lượng nước khác thể tích hình học của bể rỗng.

Không suy thành lịch chăm sóc

Đây là mô hình số học theo dõi một phần hỗn hợp, không phải hướng dẫn nên thay bao nhiêu nước cho một loài cá hoặc tình trạng cụ thể. Nồng độ chất trong thực tế còn có thể thay đổi do nguồn phát sinh, phản ứng hoặc quá trình khác. Muốn áp dụng cho một chất cụ thể cần xác định thêm các yếu tố đó, không chỉ dùng tỷ lệ nước ban đầu.